设Sn是数列{an}的前n项之和,且满足(3－p)Sn+2pan=p+3(n N,p为常数,p<－3).急啊！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/25 08:10:38
设Sn是数列{an}的前n项之和,且满足(3－p)Sn+2pan=p+3(n N,p为常数,p<－3).
设Sn是数列{an}的前n项之和,且满足(3－p)Sn+2pan=p+3(n N,p为常数,p≠-3). （1）求证:{an}是等比数列;
（2）若{an}的公比q=f（p）,数列{bn}满足b1=a1,bn=3/2f(bn-1) 求证: 1/bn是等差数列,并求{bn}的通项公式.
（3）在（2）的条件下，若lim（bnlgan）=lg27，求实数p的值。
n到无穷
（4）在（3）的条件下，又数列{Cn}满足Cn=1/(an-a(n+1)),求无穷数列{Cn}的各项和。

(1)
由(3－p)Sn+2pan=p+3
(3－p)S(n-1)+2pa(n-1)=p+3
(3－p)(Sn-S(n-1))+2pan-2pa(n-1)=0
(3-p)an+2pan-2pa(n-1)=0
(3+p)an=2pa(n-1)
an=(2p/(p+3))*a(n-1)
所以：:{an}是等比数列，2p/(p+3)为公比

(2)
由(3－p)Sn+2pan=p+3
(3－p)a1+2pa1=p+3
a1=1

因：{an}的公比q=2p/(p+3)=f(p)
bn=3/2f(bn-1)=3b(n-1)/(3+b(n-1))
1/bn=(3+b(n-1))/3b(n-1)=(1/3)+(1/b(n-1))
所以：1/bn是等差数列，公差为1/3
而已知b1=a1,则:b1=1, 1/b1=1
所以：1/bn=(1/b1)+(n-1)(1/3)=1+(n-1)/3=(n+2)/3
bn=3/(n+2)

(3)将2p/(p+3)记为q
an=a1*q^(n-1)=q^(n-1)
则: bnlgan=(3/(n+2))*lg(q^(n-1))
=(3/(n+2))*(n-1)*lgq
=(3lgq)*(1-(1/n))/(1+(2/n)
所以:lim（bnlgan）=3lgq=27
q=3
所以：2p/(p+3)=3
p=-9

(4)
Cn=1/(an-a(n+1))=1/(q^(n-1)-q^n)=(1/(1-q))*(1/q)^(n-1)
所以：{Cn}是等比数列，公比1/q=1/3，C1=1/(1-q)=-1/2
{Cn}的前n项和记为Sn
则:Sn=(-1/2)*(1-(1/3)^(n-1))/(1-(1/3))
=(-3/4)*(1-(1/3)^(n-1))
所以：{Cn}的各项和=lim(Sn到无穷)=-3/4

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